折腾来折腾去

pikipity的blog

地图投影和球体点距相关

感谢 Diegozeng 的投稿。(标题很专业的样子 ( ⊙o⊙ ) )

今天的话题来源于下面这张图片.

图一

下面是美国人对此图的描述:

Take a close look at the North Korea war room photos. The maps showing the ballistic missile trajectories use a flat earth projection- straight in over the Pacific Ocean.

地图上显示了几条比直的由朝鲜飞向美国的导弹线路,乍一看没什么特别的. 其实如果这些“直线”真的是所谓的导弹轨迹的话,那么朝鲜的导弹实际上是走了“弯路”了,也许会需要更多的成本去支持这次导弹的飞行。把北朝鲜到美国奥斯丁最近的路线画出来,实际上应该是这样的:

图二

看起来的确有点奇怪,很多人也许有一个疑问,两点之间的最短距离轨迹不应该是连接他们之间的直线么,这大概成为了一种 common sense. 新浪微博 @盈川兄 转了这张图片,从底下的评论来看,还是有很多人的第一反应是:朝鲜的导弹路线是最近的.

这其实是一个有意思的地理问题, 我们现在通常看到的地图都是平面的,而地球是类求体(有点像一个梨子). 这是怎么做到的. 相信高中学文的同学都有个大概的了解了,这个过程是通过一种叫“地图投影”的办法实现的. 由于地球的表面近似是一个球面,上面任意一个点其实可以用($\phi,\lambda$)来表示(结合球坐标($r,\phi,\lambda$),因为$r$可以看做一个常数,球面就可以降维到二维的($\phi,\lambda$)),而投影以后的是一个平面,对应的就是平面直角坐标系xOy了,因而其上任意一点可以用($x,y$)来表示.这是一个二维到二维的变化,从数学维度的角度想一想,这就是一个二维坐标系的转化,并没有升降维的麻烦,应该不是一个太过复杂的过程(一个简单的例子:直角坐标系转极坐标系,就是一个极为简单的过程). 不过仔细一想,球面和平面毕竟不一样,笔者小时侯曾经吧地球仪表面的那层纸撕了下来,愣是没能铺成一个平面的类似地图的东西,总有些“隆起”或者“下凹”的地方. 因而当时就有了一种想法,平面的地图都是“不准的”,或者说,至少不能简单粗暴地完成一个曲面到平面的转换. “地图投影”很大程度上解决了这个问题,当然方法和种类有很多种,具体请看这里,不过大概的思路都是一致的,正如前面说的,将曲面转换成平面,笔者小时候的经历验证了“物理法”是不可行的,因而这样的地图投影法自然会带来一定程度的失真. 也就是说,从理论上讲,地图上的大多数看起来是直线的地方其实在实际中并不是直线,而看起来是曲线的在实际中却可能真的是一条直线. 所以也就不难理解为什么图二的曲线是北朝鲜到美国奥斯丁最短的距离,而不是图一所示的直线了. 不过比较坑爹的情况是,基本每个地图都有比例尺,这就让人忍不住用比例尺以直线去丈量两地间的直线距离,而之前的讨论有说明了我们实际丈量很可能是一条曲线,尤其对于较远距离的两点,这个偏差应该会更大些,也就是说,地图上每一块特定区域都应该对应一个特定的比例尺。好吧,其实经过上面的分析,大家也都能发现所谓比例尺的确是“不准”的,尤其是表示大范围的(比如世界地图)就尤其不准了, 所以当别人询问北京到巴西圣保罗空中直线距离有多远时,千万别拿着直尺在自家的世界地图上测量在做一个比值运算了,因为你会发现,距离越远,这种“尺量法”的偏差基本上就越大. 接下来再说说图二中的最短路径是怎么画出来的吧. 数学上有个定理:

球面上两点的最近距离是这两点对应大圆的劣弧长

听起来有点复杂,好像还要有点空间想象能力才比较好理解. 这段劣弧在地理上叫做“测地线”,也就是地球表面任意两点间距离最短的连线. 大圆是指截面过圆心的圆,是过着两点的所有圆构成的圆系中半径最大的一个. 其实简单说起来可以这么记忆:“半径越大,弧长越短.”,这也是高中地理老师经常搪塞不太喜欢数学的文科生的一段总结.下面的图可以简单说明这点:图三 很明显$$l_2$$这段劣弧对应的圆的半径比$$l_1$$的大一些,而$$l_2$$的长度却小于$$l_1$$。 具体严格的数学证明请看这里 当理解了这一点以后,就不难明白为什么图二看似绕弯子的曲线确实最短的距离了,因为它实际上是这样的: 图四 从地球的俯视图(北极朝上)来看,图二的曲线就变成了一天近似直线了,相信如果直接看图四,很多人都会对这条轨迹是北朝鲜到美国OCA的最短距离而深信不疑吧,而图四的直线的确就是对应着图二的那条曲线。太多的时候我们都被自己的眼睛“蒙骗”了,眼见也不一定为实啊。 看起来朝鲜人是要多了解一下GIS(地理信息系统)了,当然这也算是一句玩笑话,人家可没说这是导弹飞行的最终路线,不过作为一个和平爱好者,笔者希望这仅仅是一种设想和恶搞啊,从中了解一些基本的数学地理知识才是最实在的。 最后不禁想吐嘈一下:为什么高中地理是文科学科?众所周知,地理这块到了大学就是纯理的学科,尤其是GIS. 当时分科时笔者挥泪阔别了喜爱多年的地理学科(从小拆地球仪做平面地图的伤不起.), 地理这东西完全不该和政治历史放在一起称作什么“政史地”啊~~,请让理科的课回到理科生的怀抱中吧!



Comments